'최소 작용의 원리' (해밀턴의 원리)

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이 글에서 '최소 작용의 원리'(the principle of least action)는 '해밀턴의 원리'(Hamilton's principle)를 뜻합니다. 제가 아래 책을 읽다가 필요할 때 찾아보기 위해 이 글을 썼습니다.

파인만의 물리학 강의 제2권

위키백과와 나무위키 모두 '해밀턴의 원리'로 등록되어 있습니다.

'Hamilton's principle'과 다른 'Maupertuis' principle'이 있는데, 이 둘 모두 'the principle of least action' 즉 '최소 작용의 원리'이라고 불립니다.

이와 이름이 비슷한 '최소 시간의 원리'(the principle of least time)가 있는데, 이 원리는 '페르마의 원리'라고 불립니다.

아래는 리처드 파인만의 책 "파인만의 물리학 강의 제2권"에서 'Chapter 19. 최소 작용의 원리' 내용 중 일부를 발췌한 것입니다.

  • "물체가 한 지점에서 다른 지점으로 이동할 때 취하는 경로는 평균 운동 에너지에서 평균 퍼텐셜 에너지를 뺀 값이 최소가 되는 경로이다." (19-2쪽)
  • "모든 물체는 이 적분 값이 최소가 되는 경로를 따라 움직인다" (19-2쪽)
  • "실제로 물체가 취하는 경로는 '최소한의 추가적인 운동 에너지만으로 최대한의 퍼텐셜 에너지를 얻어 내는' 최적으 타협안이라고 볼 수 있다. 즉 운동하는 모든 물체의 '목적'은 운동 에너지에서 퍼텐셜 에너지를 뺀 차이를 가능한 한 작게 줄이는 것이다." (19-3쪽)
  • "'작용(action)'이라고 불리는 특정한 양 ... S는 '운동 에너지에서 퍼텐셜 에너지를 뺀 후 시간에 대하여 적분한 값'으로 정의된다." (19-3쪽)
  • "이는 광학에 등장하는 '최소 시간의 원리(principle of least time)'와 매우 비슷하다. 거기에서도 처음에는 '최소 시간'이 걸리는 빛의 경로를 찾았지만, 경우에 따라서는 최소 시간이 아닌 경우도 있었다." (19-9쪽)
  • "물리학의 '근본적인' 법칙은 항상 최소 작용의 원리로 표현될 수 있다." (19-10쪽)
  • "입자는 작용이 최소가 되는 '하나의 경로'를 선뜻 선택하는 것이 아니라, 주위의 모든 경로들을 탐색한 후 (빛이 최소 시간 경로를 선택하는 것과 유사한 방식으로) 작용이 최소가 되는 경로를 선택하는 것이다." (19-13쪽)

Chapter 42 내용 중 그림 (42-3쪽)

아래는 리처드 파인만의 책 "리처드 파인만, 파인만의 물리학 강의 제2권"에서 'Chapter 42. 휘어진 공간 내용' 중 일부를 발췌한 것인데, 관련성이 있어서 추가합니다.

  • 초과 반경(excess radius) r초과 = r측정 - r예상
  • 유클리드 2차원에서 원주는 πr2 이므로,
    2차원에서의 r예상 = 원주 / 2π
  • 유클리드 3차원에서 구의 표면적은 4πr2 이므로,
    3차원에서의 r예상 = (측정된 면적 / 4π)0.5
  • 지구의 r예상 = (지표면적 / 4π)0.5 이므로, 
    지구의 r초과 = r측정 - (지표면적 / 4π)0.5
       = { 중력상수 / 3 광속2 } x 지구의 질량
       = { 2.5 x 10-28 mm/g } x { 6 x 1027 g }
       = 1.5 mm    (42-9쪽)
  • "아인슈타인의 이론에 의하면 공간은 휘어져 있고, 휘어짐의 원인은 바로 물질(질량)이다." (42-9쪽)
  • "시공간에서 공간에서의 직선에 대응되는 개념은 한 방향을 향해 일정한 속도로 진행하는 등속도 '운동'인 것이다. 공간에서 최단 거리를 나타내는 선에 대응하는 시공간상의 경로는 최단 시간의 경로가 아니라 '최장' 시간의 경로 ..." (42-11쪽)
  • "물체가 한 지점에서 다른 지점으로 이동할 때는 물체에 부착된 시계로 항상 최장 시간이 걸리는 경로(trajectory)를 따른다." ... "물체와 함께 움직이는 시계로 측정한 시간을 흔히 '고유 시간(proper time)'이라고 부른다. 자유 낙하하는 물체도 고유 시간이 최대가 되는 경로를 따르고 있는 것이다." (42-18쪽)
  • "중력장 하에서 고유 시간이 최대가 될 것을 요구한다는 것은 곧 뉴턴의 운동 법칙이 성립할 것을 요구하는 것과 동일하다." (42-19쪽)
  • "첫째로, 시간과 거리는 관측자의 위치와 관측하는 시점에 따라 달라진다. 이것은 시공간이 휘어져 있다고 말하는 것과 동등하다. ... 둘째로, 휘어진 시공간 속에서 모든 입자는 '직선 경로'(고유 시간이 최대가 되는 경로)를 따라 움직인다. 이상이 바로 아인슈타인이 새롭게 정식화한 중력 법칙의 내용이다." (42-21쪽)

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